【微分方程式を解く】（１）微分方程式と積分 - ケィオスの時系列解析メモランダム

今回は，最も基本的な次の微分方程式 (1階微分方程式)を解いてみます．

$\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = f(x) }$

この式は， $\displaystyle{ y(x) }$ の導関数が $\displaystyle{ f(x) }$ であることを意味しています．ですので，不定積分の定義 (微分して $\displaystyle{ f(x) }$ になるものを， $\displaystyle{ f(x) }$ の不定積分と呼ぶ)により，この微分方程式の一般解は，

$\displaystyle{ y = \int \! f(x) \, dx + C }$

となります． $\displaystyle{ C }$ の値は，与えられた微分方程式だけでは決めることができない定数です．文字は， $\displaystyle{ C }$ でなくても構いませんので，定数項を $\displaystyle{ y _ 0 }$ など，好きな文字で書いてください．答案には「 $\displaystyle{ y _ 0 }$ は定数」などと説明を加えるのを忘れないでください (説明がないと減点されます)．

　 $\displaystyle{ x=a }$ のときの $\displaystyle{ f(a) }$ の値 (初期条件)があたえられれば, $\displaystyle{ C }$ の具体的な値を決めることができます．

直感的に変形して解く

微分，積分の表現には， $\displaystyle{ dx }$ とか， $\displaystyle{ dy }$ が使われます．これって何なのでしょうか．私は， $\displaystyle{ dx }$ とか， $\displaystyle{ dy }$ を，0じゃないけど，0のお隣りにある値くらいの，微小なものと考えています．

　微小とか，ややこしいことは置いておいて，とりあえず，微分積分の表現を使いこなせば，微分方程式の答えにたどりつくことができます．微分をダッシュを使って $\displaystyle{ y' }$ のように表さないようにしてください．解くプロセスは，以下のような感じです．

変形の流れを説明すると，

１. 元の微分方程式

$\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = f(x) }$

の左辺の分母にある $\displaystyle{ dx }$ を右辺に移動して，

$\displaystyle{ dy = f(x) \, dx }$

と変形します．

２. 積分にやや似た形になったので，両辺に $\displaystyle{ \int }$ を書いて，右辺にだけ定数項 $\displaystyle{ C }$ を加えます．これは，「両辺を積分する」という数学の技です．

$\displaystyle{ \begin{align} \int dy &= \int f(x) \, dx + C \\ y &= \int f(x) \, dx + C \end{align} }$

左辺の計算は，1の積分なので，

$\displaystyle{ \int dy = \int 1\, dy = y }$

です ( $\displaystyle{ y }$ を微分すると1です)．両辺を積分すると，定数が決まらない不定性があるので，必ず片方の辺に定数項を書いてください．答案には「 $\displaystyle{ C }$ は定数」と説明を加えるのを忘れないでください (説明がないと減点されます)．

ただし，定積分で書けば，定数項は必要ありません．つまり，

$\displaystyle{ \begin{align} \int_a^x dy &= \int_a^x f(\xi) \, d\xi \\ y - y(a) &= \int_a^x f(\xi) \, d\xi \end{align} }$

となります．ちょっと変数を変えて書いたりするので，面倒に感じるかもしれません．

　不定積分として定数項を書くのか，定積分にして書かないのか，方針を自分で決めてください．

練習問題

　上では， $\displaystyle{ f(x) }$ のように抽象的に書いたので，イメージがわかないかもしれません．以下に具体例を示します．

例題１

次の微分方程式

$\displaystyle{ \begin{align} \frac{dy}{dx} &= x \end{align} }$

の一般解を求めてみます．

$\displaystyle{ \begin{align} \frac{dy}{dx} &= x \\ dy &= x \, dx \\ \int dy &= \int x \, dx + C \\ y &= \frac{x^2}{2} + C \end{align} }$

ここで， $\displaystyle{ C }$ は定数です．

　次に，同じ微分方程式

$\displaystyle{ \begin{align} \frac{dy}{dx} &= x \end{align} }$

で， $\displaystyle{ x = 0 }$ のとき， $\displaystyle{ y (0) = 2 }$ になる解を求めてみます．

　追加で与えられた条件を初期条件といい，求める解を特殊解 (あるいは，特解)といいます．

　はじめに求めた一般解

$\displaystyle{ y = \frac{x^2}{2} + C }$

に， $\displaystyle{ x = 0 }$ ， $\displaystyle{ y = 2 }$ を代入して，定数 $\displaystyle{ C }$ を求めます．

$\displaystyle{ \begin{align} 2 &= \frac{0^2}{2} + C \\ C &= 2 \end{align} }$

となるので，特殊解は，

$\displaystyle{ y = \frac{x^2}{2} + 2 }$

です．

例題2

次の微分方程式

$\displaystyle{ \begin{align} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} &= 0 \end{align} }$

の一般解を求めてみます．

$\displaystyle{ \begin{align} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} &= 0 \\ \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{x} \\ dy&= \frac{1}{x}\, dx \\ \int dy &= \int \frac{1}{x} \, dx + C \\ y &= \log \left|x \right| + C \end{align} }$

ここで， $\displaystyle{ C }$ は定数です．

数学以外では，時間を考えることが多いので，文字が変わった場合もきちんと解けるようになってください．

例題3

次の微分方程式

$\displaystyle{ \begin{align} \frac{dx}{dt} - e^t &= 0 \end{align} }$

の一般解を求めてみます．

$\displaystyle{ \begin{align} \frac{dx}{dt} - e^t &= 0 \\ \frac{dx}{dt} &= e^t \\ dx&= e^t \, dt \\ \int dx &= \int e^t \, dt + C \\ x &= e^t+ C \end{align} }$

ここで， $\displaystyle{ C }$ は定数です．

例題4

次の微分方程式

$\displaystyle{ \begin{align} \frac{du}{dt} - \cos t &= 0 \\ \end{align} }$

の一般解を求めてみます．

$\displaystyle{ \begin{align} \frac{du}{dt} - \cos t &= 0 \\ \frac{du}{dt} &= \cos t \\ du&= \cos t \, dt \\ \int du &= \int \cos t \, dt + C \\ u &= \sin t+ C \end{align} }$

ここで， $\displaystyle{ C }$ は定数です．