【時系列解析】m階積分 (和分)とパワースペクトル：ARFIMA(0, d, 0)の一歩手前

今回は，Autoregressive fractionally integrated moving average process (ARFIMA)への導入の手前です．ARFIMAの日本語訳は，私が訳せば「自己回帰非整数積分移動平均過程」，インターネット検索でよく見る訳は「自己回帰実数和分移動平均過程」です．MA (moving average: 移動平均)過程も，ARMA (autoregressive moving average: 自己回帰移動平均)も，ARIMA (カタカナ読み「アリマ」)も，これまで全く説明していませんが，長時間相関過程の話へつなげたいので，一気に飛ばして，ARFIMA (アルフィマ，アルフィーマ)の中のARFIMA(0, d, 0)過程への導入の一歩手前の話をします．つまり，ARFIMAは，話に登場しません．

　押さえておきたいポイントは，「m階差分・m階積分 (和分)のラグオペレータ (バックシフト演算子)を使った表現」と「m階差分過程・m階積分 (和分)過程のパワースペクトル」です．

基本事項の確認

以前と同じ説明です．知ってる人は飛ばしてください．

1. ラグオペレータ $L$ を，時系列 $\{x[i]\}$ に作用させると，

$\displaystyle L x [i] = x[i-1]$ ，　 $\displaystyle L^m x [i] = x[i-m]$

となります．つまり， $L$ が1つかかるごとに，時間が１戻ります．

2. 時系列 $\{x[i]\}$ のフーリエ変換を $X(f)$ とします．時間の世界でのラグオペレータ $L$ をフーリエ変換すると， $e^{{\bf i } 2 \pi f}$ になります．つまり，

$\displaystyle L x [i]$ をフーリエ変換すると， $\displaystyle e^{{\bf i} 2 \pi f} X(f)$

となります．フーリエ変換すると， $L$ が $e^{{\bf i} 2 \pi f}$ に変わると覚えてください．

3. 時系列 $\{x[i]\}$ のパワースペクトルの推定量 $S_x(f)$ は，長さ $N$ の時系列 $\{x[i]\}$ のフーリエ変換を $X(f_k)$ (ここで， $f_k = k/N$ )として，

$\displaystyle S_x(f_k) = \frac{|X(f_k)|^2}{N}$

です．

　ラグオペレータとパワースペクトルの話は，以下の記事を参考にしてください．

chaos-kiyono.hatenablog.com

m階差分・m階積分 (和分)のラグオペレータ $L$ を使った表現

　ここでは，

時系列 $\{x [n]\}$ の $m$ 階差分をとった時系列 $\{y [n]\}$ との関係は，

　 $\displaystyle y[n] = (1-L)^m x[n]$

時系列 $\{x [n]\}$ の $m$ 階積分 (和分)をとった時系列 $\{y [n]\}$ との関係は，

　 $\displaystyle (1-L)^m y[n] = x[n]$

となることを説明します．

　まずは，１階ずつ段を進みます． $\{x [n]\}$ の１階差分は，

　 $y[n] = x[n]-x[n-1]$

です． $\{x [n]\}$ の２階差分を $z[n]$ と書けば，

　 $\begin{eqnarray} z[n] &=& y[n]-y[n-1] \\ &=& (x[n]-x[n-1])-(x[n-1]-x[n-2]) \\ &=& x[n]- 2 x[n-1] + x[n-2] \end{eqnarray}$

です．ラグオペレータ $L$ を使えば，１階差分は，

　 $\begin{eqnarray} y[n] &=& x[n]-x[n-1] \\ &=& x[n]- L x[n] \\ &=& (1-L) x[n] \end{eqnarray}$

２階差分は，

　 $\begin{eqnarray} z[n] &=& y[n]-y[n-1] \\ &=& y[n]-L y[n] \\ &=& (1-L) y[n] \\ &=& (1-L) (1-L) x[n] \\ &=& (1-L)^2 x[n] \end{eqnarray}$

となります．これを繰り返せば， $m$ 階差分は，

　 $\begin{eqnarray} (1-L)^n x[n] \end{eqnarray}$

となります．

　今度は，積分 (和分)です． $\{x [n]\}$ の１階積分 (和分)は，

　 $\displaystyle y[n] = \sum_{i=1}^{n} x[i]$

$\{x [n]\}$ の２階積分 (和分)を $z[n]$ と書けば，

　 $\begin{eqnarray} z[n] &=&\sum_{i=1}^{n} y[i] \\ &=& \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{i} x[j] \end{eqnarray}$

です．ちょっと式を書き換えてラグオペレータ $L$ を使えば，１階積分 (和分)は，

　 $\begin{eqnarray} y[n] &=& \sum_{i=1}^{n} x[i] \\ y[n] &=& \sum_{i=1}^{n-1} x[i] + x[n] \\ y[n] &=& y[n-1] + x[n] \\ y[n] - y[n-1] &=& x[n] \\ y[n] - L y[n] &=& x[n] \\ (1-L)y[n] &=& x[n] \\ y[n] &=& \frac{x[n]}{1-L} \\ \end{eqnarray}$

２階積分 (和分)は，

　 $\begin{eqnarray} z[n] &=& z[n-1] + y[n] \\ z[n] - z y[n] &=& y[n] \\ (1-L)z[n] &=& y[n] \\ z[n] &=& \frac{1}{1-L} y[n] \\ z[n] &=& \frac{1}{1-L} \frac{x[n]}{1-L}\\ z[n] &=& \frac{x[n]}{(1-L)^2}\\ (1-L)^2 z[n] &=& x[n]\\ \end{eqnarray}$