【Rで統計入門】(6) 確率変数：大文字と小文字の使い分け

　確率変数という言葉は、統計学や時系列解析を学ぶときによく登場します。今回は、確率変数の基本的な表記方法や定義、期待値の計算についてのお話です。

確率変数とは
確率変数の種類
- 離散確率変数
  - 離散確率変数の例1：コインを投げる場合
  - 離散確率変数の例2：サイコロを振る場合
- 連続確率変数
  - 確率密度関数の例１：ガウス分布（正規分布）
  - 確率密度関数の例１：一様分布（0から1の値をとる場合）
期待値の計算
- 離散確率変数の場合
- 連続確率変数の場合
最後に一言

確率変数とは

　コインを投げでは、「表が出る (H)」か「裏が出る (T)」の2つの事象があります。事象が言葉や文字で表されていると、面倒なことがあるので、「表が出たら1」「裏が出たら0」のように数値を対応させてみます。この場合、コインのことは無しにして、「0と１のどっちかの値が、確率的に出現する」と考えることができます。

　同様に、サイコロを振る場合も「1の目が出る」「2の目が出る」などと、「目が出る」と考えるのではなく、「1, 2, 3, 4, 5, 6の何れかの値が、確率的に出現する」と考えることができます。

　このように、試行の結果を数値として表す変数を確率変数といいます。

　確率変数を表すときは、大文字 $X$ と、それに対応する小文字 $x$ を違う意味で使います。

大文字 ( $X$ )は確率変数を表します。どんな値になるか未定です (試行を行い、結果を観察するまでは値が決まりません)。確率変数には、値を代入できません。
小文字 ( $x$ )は試行の結果として実際に得られた値（実現値）を表します。こちらは、これまで数学で扱ってきた変数と同様の扱いです。

　確率変数を $X$ とすれば、「 $X=1$ 」は、値を代入しているのではなく、「試行の結果 (確率のルールに従い)、 $X$ の値が１になる」という条件を表します。

　一方で、確率変数 $X$ の実現値を表す $x$ については、「 $x=1$ 」は、「 $x$ に１を代入する」あるいは「 $x$ の値を1とする」という意味です。

　最初は、大文字と小文字の使い分けが面倒かもしれませんが、この表現は、よく使われる確率変数のルールです。とはいえ、私が論文を書くときには、面倒なので大文字と小文字の区別をせずに、全部小文字で書くこともあります。大文字と小文字の使い分けは、絶対のルールではありません。

確率変数の種類

　確率変数には次の2種類があります。

離散変数：とびとびの値をとる（例：コインの表裏、サイコロの目）
連続変数：連続した値をとる（例：身長、温度）

離散確率変数

離散確率変数 $X$ がとりうる値を $x _ i$ ( $i=1,2, \cdots ,n$ ) とすると、 $X=x_i$ となる確率は

$\displaystyle{ P(X=x_i) }$

で与えられます。

離散確率変数の例1：コインを投げる場合

　コインを投げて「表なら1」「裏なら0」とする確率変数の $n$ 個の実現値を擬似乱数として生成する関数をRで定義できます。

coin <- function(n){
   x <- rbinom(n,1,0.5)   # 擬似乱数の生成
   return(x)
}

　この関数を定義した後、nに自然数を代入し、coin(n) を実行すると、n個の結果が得られます。

　この関数を実行する前に「何らかの値が出るとして」の状態を議論したいのであれば、確率変数の表現

$\displaystyle{ \{X_1, X_2, \cdots, X_n\} }$

を使います。

　そして、coin(n)を実行して、具体的な値を得たのであれば、その値は、

$\displaystyle{ \{x_1, x_2, \cdots, x_n\} }$

のように小文字で表します。

　 $i$ 回目に、 $X _ i = 0$ となる確率を $P (X _ i=0)$ ，　 $X _ i = 1$ となる確率を $P (X _ i=1)$ とすれば、理想的なコインであれば、

$\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \displaystyle P\left(X_i=0 \right)=\frac{1}{2} \\ \displaystyle P\left(X_i=1 \right) =\frac{1}{2} \end{array}\right. }$

と表すことができます。

離散確率変数の例2：サイコロを振る場合

　サイコロの目を確率変数として扱う場合、次のように擬似乱数を生成する関数を定義できます。

dice <- function(n){
   x <- ceiling(runif(n,0,6))   # 擬似乱数の生成
   return(x)
}

　この関数を定義した後、dice(n) を実行すると、n個のサイコロの目が得られます。

　 $i$ 回目に、 $X _ i = k$ となる確率を $P (X _ i=k)$ とすれば、理想的なサイコロであれば、

$\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \displaystyle P\left(X_i=1 \right)=\frac{1}{6} \\ \displaystyle P\left(X_i=2 \right)=\frac{1}{6} \\ \displaystyle P\left(X_i=3 \right)=\frac{1}{6} \\ \displaystyle P\left(X_i=4 \right)=\frac{1}{6} \\ \displaystyle P\left(X_i=5 \right)=\frac{1}{6} \\ \displaystyle P\left(X_i=6 \right) =\frac{1}{6} \end{array}\right. }$

と表すことができます。

連続確率変数

　確率変数 $\displaystyle{ X }$ が連続的な値をとる場合、その確率は 確率密度関数 (probability density function) $\displaystyle{ f(x) }$ を使って表されます。 $\displaystyle{ f(x) }$ は密度を表していて、確率はそのグラフが作る面積で与えられます。