【信号処理の基礎数学】オイラーの公式の周辺（その１）：三角関数の公式を導出

　以下のオイラーの公式

$\displaystyle{ e^{i \theta} = \cos \theta + i\sin \theta }$

は、複素指数関数と三角関数を結びつける重要な関係式です。

ここで、 $\displaystyle{ i }$ は虚数単位（ $\displaystyle{ i^ 2 = -1 }$ ）です。この式は、指数関数と三角関数の間に深い関係があることを示しています。

　下の図のように、オイラーの公式は、 $e ^{i \theta}$ が複素平面上の単位円上の点を表していることを意味しています。

$e ^{i \theta}$ は複素平面上の単位円上の点を表す。 $\theta$ は実軸から左回りに進んだ角度。

　オイラーの公式を使うと、さまざまな三角関数の公式を簡単に証明できます。

複素数の基礎
三角関数の指数関数表示
加法定理の証明
ドモアブルの公式（de Moivre's formula）
マクローリン展開

複素数の基礎

　今回の計算では、以下の性質を頻繁に使いますので、念のため説明しておきます。

　 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ が実数のとき、

$\displaystyle{ a + b i = c + d i }$

であれば、

$\displaystyle{ a = c, \qquad b = d }$

です。

　複素数は、実部と虚部の組み合わせで数を表していますが、２つの値が等しいということは、実部と実部、虚部と虚部が一致するという意味です。

三角関数の指数関数表示

オイラーの公式の両辺に $\displaystyle{ -i\theta }$ を代入すると：

$\displaystyle{ e^{-i \theta} = \cos(-\theta) + i\sin(-\theta) }$

三角関数では、 $\displaystyle{ \cos(-\theta) = \cos \theta }$ 、 $\displaystyle{ \sin(-\theta) = -\sin \theta }$ なので：

$\displaystyle{ e^{-i\theta} = \cos \theta - i\sin \theta }$

この式とオイラーの公式

$\displaystyle{ e^{i \theta} = \cos \theta + i\sin \theta }$

を足し合わせると：

$\displaystyle{ \cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} }$

また、引き算すると：

$\displaystyle{ \sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} }$

三角関数は、指数関数で表せることが分かります。この関係は、下の図がイメージできれば、当然のことです。

加法定理の証明

オイラーの公式を使って、加法定理を証明します。

まず、 $\displaystyle{ \alpha + \beta }$ に対してオイラーの公式を適用すると：

$\displaystyle{ e^{i(\alpha + \beta)} = e^{i \alpha} e^{i\beta} }$

ここでは、指数関数の性質を利用しました。

　下の図のように、 $e ^{i \beta}$ をかけることは、点を原点周りに角度 $\beta$ だけ回転させることを意味しています。

$e ^{i \alpha}$ に $e ^{i \beta}$ をかけると、角度 $\beta$ だけ回転した位置に点が移動。

　次に、

$\displaystyle{ e^{i \alpha} = \cos \alpha + i\sin \alpha, \quad e^{i \beta} = \cos \beta + i\sin \beta }$

を代入して展開すると：

$\displaystyle{ (\cos \alpha + i\sin \alpha)(\cos \beta + i\sin \beta) = \cos x \cos y + i\cos x \sin y + i\sin x \cos y + i^2 \sin x \sin y }$

ここで、 $\displaystyle{ i^ 2 = -1 }$ なので：

$\displaystyle{ \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta + i(\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta ) }$

オイラーの公式を使った結果

$\displaystyle{ e^{i(\alpha+\beta )} = \cos(\alpha+\beta ) + i\sin(\alpha+\beta ) }$

と比較すると、実部と虚部が一致するため、加法定理の式が導かれます。

$\displaystyle{ \cos (\alpha+\beta ) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta }$

$\displaystyle{ \sin (\alpha+\beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta }$

ドモアブルの公式（de Moivre's formula）

　ドモアブルの公式は、 $n$ を整数 (負の整数でもかまわない)として、次の形の式です。

$\displaystyle{ (\cos \theta+i \sin \theta)^n=\cos n \theta+i \sin n \theta }$

この公式は、オイラーの公式を知っていれば、当たり前と感じられるものです。

　ドモアブルの公式の左辺をオイラーの公式を使って指数関数に書き換えれば、

$\displaystyle{ (\cos \theta+i \sin \theta)^n=\left(e^{i \theta} \right)^n }$

となります。この右辺を変形すると、

$\displaystyle{ \begin{align} \left(e^{i \theta} \right)^n &= e^{i n \theta} \\ &= \cos n \theta + i \sin n \theta \\ \end{align} }$

となりますので、ドモアブルの公式が成り立つことがわかります。

マクローリン展開

指数関数のマクローリン展開

$\displaystyle{ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots }$

の両辺の $x$ の部分に、 $i x$ を代入して，計算すれば、

$\displaystyle{ \begin{align} e^{i x} &= 1 + \frac{(i x)}{1!} - \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \cdots \\ &= 1 + i \frac{x}{1!} - \frac{x^2}{2!} - i \frac{x^3}{3!} + \cdots \\ &= \left(1 - \frac{x^2}{2!} + \cdots \right) + i \left(\frac{x}{1!} - \frac{x^3}{3!} + \cdots \right) \\ \end{align} }$