【時系列解析の基礎数学】離散フーリエ変換の直交性：内積で理解

　離散フーリエ変換（discrete Fourier transform: DFT）を理解するうえで、「ベクトルの内積」の考え方が基礎になります。なぜなら、離散フーリエ変換は離散時系列と規則的な振動成分を表す「基底ベクトル」の内積で表されているからです。連続フーリエ変換も同じく内積ですが、ここでは、離散からはじめます。

　内積は、ベクトルの直交を判定したり、ベクトルを特定の方向の成分に分解したりできる便利な道具です。

　下の左の図では、２つのベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の内積がゼロだと、両者は直交することを描いており、右の図では、内積を使えば、ベクトル $\mathbf{a}$ を、２つの直交する単位ベクトル $\mathbf{e} _ 1$ 、 $\mathbf{e} _ 2$ の向きの大きさ (2方向に分解したときの成分) がわかることを描いています。

離散フーリエ変換の定義

　離散フーリエ変換 (discrete Fourier transform: DFT) では、長さ $\displaystyle{ N }$ の離散時系列 $\displaystyle{ \left\{ x [n ] \right\} _ {n=0}^ N }$ を周波数領域の成分 $\displaystyle{ X[k] }$ に変換します。

　 $i$ を虚数単位として、式の定義は以下です。

$\displaystyle{ \begin{equation} X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-i \frac{2\pi}{N} k n}, \quad \left(k = 0,1,\dots,N-1\right) \end{equation} }$

その逆変換（inverse discrete Fourier transform: IDFT）の定義は以下です。

$\displaystyle{ \begin{equation} x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{i \frac{2\pi}{N} k n}, \quad \left(n = 0,1,\dots,N-1\right) \end{equation} }$

ベクトルの内積との関係

　フーリエ変換に登場する

$\displaystyle{ \begin{equation} e^{i \frac{2\pi}{N} k n} \quad \left(n = 0,1,\dots,N-1\right) \end{equation} }$

をベクトルのように並べて書いてみます。

$\displaystyle{ \begin{equation} \mathbf{v}_k = \begin{bmatrix} e^{i \frac{2\pi}{N} k \cdot 0} \\ e^{i \frac{2\pi}{N} k \cdot 1} \\ e^{i \frac{2\pi}{N} k \cdot 2} \\ \vdots \\ e^{i \frac{2\pi}{N} k (N-1)} \end{bmatrix} \end{equation} }$

これは、基底ベクトルと呼ばれます。

複素数ベクトルの内積

　要素が複素数の $n$ 次元列ベクトル

$\displaystyle{ \boldsymbol{a}=\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right), \ \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right) }$

の内積は、以下の式で定義されます。

$\displaystyle{ \begin{align} \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} &={ }^t \boldsymbol{a} \overline{\boldsymbol{b}}= \left(\begin{array}{llll} a_1 & a_2 & \cdots & a_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \overline{b}_1 \\ \overline{b}_2 \\ \vdots \\ \overline{b}_n\end{array}\right) \\ &= a_1 \overline{b}_1+a_2 \overline{b}_2+\cdots a_n \overline{b}_n \\ &=\sum_{i=1}^n a_i \overline{b}_i \\ \end{align} }$

ここで、 $\overline{b}$ は、 $b$ の複素共役を表します。複素共役は、 $\displaystyle{ \alpha }$ ， $\displaystyle{ \beta }$ を実数、 $\displaystyle{ z }$ を複素数として、以下のようになります。

$\displaystyle{ \begin{align} \overline{(\alpha + i \beta) } = \alpha - i \beta \\ \overline{\left( e^{z} \right)} = e^{\overline{z}} \end{align} }$

　また、 $\displaystyle{ \boldsymbol{a} }$ の大きさの２乗は、

$\displaystyle{ \left|\boldsymbol{a} \right|^2 = \boldsymbol{a} \cdot {\boldsymbol{a}} }$

　ベクトルの内積の表現を使えば、以下の２つのベクトル

$\displaystyle{ \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{c} x [0] \\ x [1] \\ \vdots \\ x [N-1] \end{array}\right), \ \mathbf{v}_k =\left(\begin{array}{c} e^{i \frac{2\pi}{N} k \cdot 0} \\ e^{i \frac{2\pi}{N} k \cdot 1} \\ \vdots \\ e^{i \frac{2\pi}{N} k \cdot (N-1)} \end{array}\right) }$

の内積が、フーリエ変換になっています。

$\displaystyle{ \begin{align} \boldsymbol{x} \cdot {\mathbf{v}}_k &= x [0] \, e^{-i \frac{2\pi}{N} k \cdot 0}+x [1] \, e^{-i \frac{2\pi}{N} k \cdot 1}+\cdots x [N-1] \, e^{-i \frac{2\pi}{N} k \cdot N-1} \\ &=\sum_{n=0}^{N-1} x[n] \, e^{-i \frac{2\pi}{N} k n} \end{align} }$

　つまり、フーリエ変換は、内積の計算をしているだけです。

$\mathbf{v} _ k$ に関する公式

　フーリエ変換を理解したり、手計算で考察したりするときに、印象に残しておいた方が良い式をまとめます。公式として覚えなければならないことはありませんが、ベクトルとして直感的なイメージをもてれば、結果を予想できるようになります。

$\mathbf{v} _ k$ の大きさ

の大きさの２乗を計算します。

$\displaystyle{ \begin{align} \left|\mathbf{v}_k\right|^2 &= \mathbf{v}_k \cdot {\mathbf{v}}_k \\ &= \sum_{n=0}^{N-1} e^{i \frac{2\pi k}{N} n} \cdot e^{-\,i \frac{2\pi k}{N} n} \\ &= \sum_{n=0}^{N-1}\exp \left( i \frac{2\pi k}{N} n -\,i \frac{2\pi k}{N} n \right) \\ &= \sum_{n=0}^{N-1}\exp \left( 0 \right) \\ &= \sum_{n=0}^{N-1} 1 \\ &= N \end{align} }$

　したがって、

$\displaystyle{ \begin{align} \left|\mathbf{v}_k\right|^2 &= \mathbf{v}_k \cdot {\mathbf{v}_k} = N\\ \left|\mathbf{v}_k\right| &= \sqrt{N} \end{align} }$

　この結果から「なんだよ、 $\displaystyle{ \mathbf{v} _ k }$ って大きさ１の単位ベクトルになってね～のかよ～」と、文句を言いたいかもしれません。単位ベクトルにするには、大きさ $\displaystyle{ \sqrt{N} }$ で割る必要があります。

　そして、フーリエ変換を、以下のように定義したほうが、ベクトルとしての表現はきれいです。

$\displaystyle{ \begin{align} X[k] &= \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-i \frac{2\pi}{N} k n} \\ x[n] &= \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{i \frac{2\pi}{N} k n} \end{align} }$

しかし、最初に紹介した表現

$\displaystyle{ \begin{align} X[k] &= \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-i \frac{2\pi}{N} k n} \\ x[n] &= \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{i \frac{2\pi}{N} k n} \end{align} }$

のほうがよくつかわれます。フーリエ変換の定義には種類が違うものがあることに注意してください。

$k \neq k'$ のときの内積

　 $\displaystyle{ \mathbf{v} _ k \cdot {\mathbf{v}} _ {k'} }$ を計算します。

$\displaystyle{ \begin{align} \mathbf{v}_k \cdot {\mathbf{v}}_{k'} &= \sum_{n=0}^{N-1} e^{i \frac{2\pi k}{N} n} \cdot e^{-\,i \frac{2\pi k'}{N} n} \\ &= \sum_{n=0}^{N-1}\exp \left( i \frac{2\pi k}{N} n -\,i \frac{2\pi k'}{N} n \right) \\ &= \sum_{n=0}^{N-1}\exp \left( i \frac{2\pi (k-k')}{N} n \right) \\ &= e^{i \frac{2\pi (k-k')}{N}\cdot 0} + e^{i \frac{2\pi (k-k')}{N}\cdot 1} + e^{i \frac{2\pi (k-k')}{N}\cdot 2} + \cdots + e^{i \frac{2\pi (k-k')}{N}\cdot (N-1)} \\ &= \frac{\displaystyle 1- e^{i 2\pi (k-k')}}{\displaystyle1- e^{i \frac{2\pi (k-k')}{N}}} \\ \end{align} }$